Реферат: Теорія металів Друде

P(t)=Re(p(ω) e-iωt) (25)

Підставляючи комплексні величини р і Е в рівняння (1.24), яке повинно розв’язуватись по чистинах для дійсної і уявної частин, отримаємо, що p(ω) задовольняє рівняння

-iωp(ω)=-P(ω)/τ-eE(ω) (26)

Так як

J=-nep/m,

густина струму дорівнює :

j(t)=Re(j(ω) ) e-iωt

j(ω)=-nep(ω)/m=(ne2/m)E(ω)/((1/ τ)-i ω) (27)

Цей результат також записують і вигляді :

j(ω)=σ(ω)E(ω) (28)

де величина σ(ω) називається високочастотною провідністю , і обчислюється :

σ(ω)= σ0/(1-i ωτ); σ0= ne2τ/m (29)

Звернемо увагу на те, що при частоті , яка дорівнює нулю, цей вираз перетворюється в результат Друде σ=ne2τ/m для статичної провідності.

Найбільш важлива область застосування знайденого результату - дослідження розповсюдження електро – магнітного випромінювання в металі.

Якщо електричне поле не змінюється істотним чином на відстанях, які порівняно з довжиною вільного пробігу електрона великі, ми маємо право при обчисленні густини струму j(r,t) в точці r вважати, що поле у всьому просторі має таку ж величину E(r,t), як і в точці r . звідси і отримаємо результат

j(r,ω) =σ(ω) E(r,ω) (30)

він правильний, якщо довжина хвилі λ поля велика порівняно з довжиною вільного пробігу електрона l . В металах ця умова зазвичай виконується для видимого світла (довжина хвилі 103-104 А ). Коли вона порушується , то застосовуються інші складніші теорії.

Вважаючи, що довжина хвилі велика порівняно з довжиною вільного пробігу, можна поступити наступним чином. Якщо ми маємо густину струму j , то рівняння Максвела можна записати у вигляді :

▼·E=0; ▼·H=0; ▼x E=(-1/c)(∂H/∂t); ▼x H=4πj/c+(1/c)(∂E/∂t) (31)

Будемо шукати розв’язок , який залежить від часу як e-iωt . зауважимо, що в металі можна виразити j через Е з допомогою формули (1.28), знаходимо:

▼x(▼x E)=- ▼ 2E=(iω/c) ▼ x H==(iω/c)(4πσE/c- iωE/c) (32)

або інакше :

- ▼2E=(ω2/c2)(1+4πiσ/ ω) E (33)

Рівняння (1.33) має вигляд звичайного хвильового рівняння

- ▼2E=(ω2/c2)ε(ω)E (34)

з комплексною діелектричною проникністю

ε(ω)=1+4πiσ/ ω (35)

Якщо частота достатньо велика, так що виконується умова:

ωτ≥1 (36)

то в першому наближенні , виходячи із (35) і (29), отримаємо

ε(ω)=1- ω2p / ω2 (37)

де величина ωp, називається плазмовою частотою, і обчислюється :

ω2p =4πne2/m (38)

Якщо ε - дійсна від’ємна величина ( ω>ωp) , то рівняння (34) має лише такі розв’язки , що в цьому випадку випромінювання не може поширюватись. Якщо ε - додатна величина (ω<ωp) , то розв’язок рівняння (34) означає, що випромінювання може поширюватись і метал повинен бути прозорим. Цей висновок справедливий , якщо поблизу частоти ω=ωp виконується зроблене нами припущення (1.36). Виражаючи τ через питомий опір з допомогою формули:

τ=(0,22/ρm)(rs/a0)3/2·1014c,

визначення плазмової частоти (39) можна використати для розрахунку величини ωpτ:

ωpτ=1,6·102·(τs/a0)3/2(1/ρm) (39)

Оскільки питомий опір ρμ вимірюється в мкОм.см, має порядок одиниці або менше, а величина rs/a0 лежить в межах від 2 до 6 то умова (36) добре виконується при плазм енній частоті.

Підставляючи в (36) числові значення сталих, отримаємо, що прозорість повинна виникати при частоті

ν p=ωp/2π=11,4(rs/a0)3/2·1015 Гц

або

λ p=с/ ν p=0,26(rs/a0)3/2·103 Å.

6. Теплопровідність металу.

Найбільш вражаючим успіхом моделі Друде в той час , коли вона була запропонована , було пояснення емпіричного закону Відемана і Франца. Закон Відемана – Франца стверджує , що відношення χ/ω теплопровідності до електропровідності для більшості металів прямо пропорційний до температури, причому коефіцієнт пропорційності з достатньою точністю однаковий для всіх металів. Для пояснення цієї закономірності в рамках моделі Друде вважають, що основна частина теплового потоку в металі переносяться електронам провідності. Це припущення основане на тому емпіричному спостереженні , що метали проводять тепло набагато краще ніж діелектрики. Тому теплопровідність обумовлена іонами менш важлива порівняно з теплопровідністю обумовленою електронами провідності (які існують тільки в металах ).

Для того щоб визначити коефіцієнт теплопровідності і розрахувати його розглянемо металевий стержень , вздовж якого температура плавно змінюється. Якщо б на кінцях стержня не було джерел і витоків тепла, що підтримую градієнт температури, то його гарячий кінець охолоджувався б , а холодний – нагрівався б , тобто теплова енергія текла би в напрямку протилежному градієнту температури. Підводячи тепло до гарячого кінця з тією ж швидкість , з якою воно звідти виходить , можна встановити стаціонарний стан з градієнтом температури і постійним потоком теплової енергії. Ми визначимо густину потоку тепла jq , як вектор паралельний напрямку потоку тепла і рівний по абсолютній величині кількості теплової енергії, що перетинає за одиницю часу одиничну площадку перпендикулярну потоку. Для малих градієнтів температури потік тепла є пропорційним

ÑT : jq=-χÑT ( 41 )

Коефіцієнт пропорційності χ називають коефіцієнтом теплопровідності. Він додатній, оскільки напрям потоку тепла протилежний напрямку градієнта температури.

В якості конкретного прикладу розглянемо випадок, коли існує постійний перепад температур в додатному напрямку по осі х . Тоді в стаціонарному стані потік тепла напрямлений також в напрямку х і має абсолютну величину jq=-χ¶T/¶x. Для того, щоб розрахувати цей тепловий потік, зауважимо, що швидкість електрона після кожного зіткнення відповідає локальній температурі : чим вища температура в місці зіткнення , тим більшою енергією володіє цей електрон. Отже , навіть якщо середнє значення швидкості електронів в будь – якій точці буде дорівнювати нулю, то при таких умовах буде існувати сумарний тепловий потік, напрямлений в сторону області з більш низькою температурою. (див. мал)

Висока температура Низька температура

Схематичне зображення відношення між градієнтом температури і потоком тепла.

Це пояснюється тим, що електрони, які переміщаються в дану область з високою температурою, мають більш високі енергії, ніж електрони, які приходять з області з низькою температурою.

Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо ε(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію ε(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vτ і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію ε(T[x-vτ]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об’єму π/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (π/2)v ε(T[x-vτ]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (π/2)(-v)ε(T[x-vτ])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:

Jq=½nv[ε(T[x-vτ])]-ε(T[x-vτ]) (42)

якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vτ дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:

j4=nv2τ(dε/dt)(-dT/dx) (43)

Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки

‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3

і

ndε/dT=(N/V)( dε/dT )= ( dE/dT )/V=Cv

де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:

j4=(1/3) v2τ Cv(-▼T) (44)

або

χ=(1/3) v2τ Cv =(1/3) lv Cv (45)

де v2 - середній квадрат швидкості електрона.

Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності σ=ne2τ/m можна отримати ще один вираз:

χ/σ=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)

Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність

Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT

де kB - стала Больцмана. kB=1,38·10-16ерг/К.

В результаті отримаємо:

χ/σ=(3/2)(kB/l)2 T (47)

Величина в правій частині рівності (47) залежить лише від фундаментальних сталих kB і l і пропорційна Т в повній відповідності із законом Відемана – Франца.