Реферат: Теорія металів Друде

Будемо вважати, що за одиницю часу е- відчуває зіткнення ( тобто, раптово змінює швидкість ) із ймовірністю, яка дорівнює 1/τ. Мається на увазі, що для е- ймовірність випробовувати зіткнення протягом нескінченно малого проміжку часу

dt=dt/τ

Час τ називається часом релаксації або часом вільного пробігу; воно відіграє фундаментальну роль в теорії провідності металів. Із цього припущення випливає, що е-вибраний навмання у цей момент часу, буде рухатися в середньому протягом часу τ не залежить від просторового положення е- і його швидкості (ця гіпотеза справді хороша).

Припускається, що е- приходять в стан теплової рівноваги із своїм оточенням виключно завдяки зіткненням. Вважається, що зіткнення підтримують локальні термодинамічні рівноваги надзвичайна простим способом

Швидкість е зразу після зіткнення не зв’язана з швидкістю до зіткнення, а направлена випадковим чином, причому її величина відповідає тій температурі, яка переважає в області, де проходило зіткнення. Тому чим гарячішою буде область, де проходить зіткнення, тим більшою швидкістю володіє електрон після зіткнення. У наступній частині-ілюстрація цих положень.

3. Статична електропровідність металу.

У відповідності із законом Ома струм I через провідник обернено пропорційний опору R провідника прямо пропорційний напрузі U вздовж провідника:

U=I/R

Опір провідника R залежить від його розмірів, але не залежить від величини струму або падіння напруги. Модель Друде дозволяє пояснити таку залежність і оцінити величину опору.

Зазвичай залежність R від форми провідника забирають ,вводячи нову величину, що характеризує лише сам метал, із якого зроблений провідник. Питомий опір ρ визначається як коефіцієнт пропорційності між напруженістю електричного поля

Е в деякій точці металу і визнаною ним густиною струму:

Е=j/ρ (3)

Густина струму j –це вектор ,паралельний потоку зарядів, його величина дорівнює кількості заряду, що проходить за одиницю часу через одиничну площадку перпендикулярну до потоку. Тому, якщо через провідник довжиною і площиноюпоперечного перерізу S йде постійний струм I, то густина струму дорівнює:

j=I/S

Так, як падіння напруги на провіднику:

U=Е/L

то з формули (3) випливає, що:

U=(I/L/g)/S і як наслідок

R=(L/g)/S

Якщо всі n e- в одиниці об’єму рухаються з однаковою швидкістю Vc, то густина струму паралельна Vc. Далі за час dt е- змістяться на відстань Vdt у напрямку Vc, тому за цей час площину S перпендикулярну до напрямку струму перетнуть n(Vdt) S електронів. Так як кожний електрон несе заряд –е ,повний заряд,що перетинає S за час dt становить –neVSdt і як наслідок, густина струму :

J=-enVc (4)

У довільній точці металу електрони завжди рухаються у найрізноманітніших напрямках і володіють різними тепловими швидкостями. Сумарна густина струму, що виражається формулою (4), де Vc –середня швидкість електронів. За відсутності електричного поля всі напрямки руху електронів рівноймовірні і середнє значення Vc перетворюється в 0, а відповідно сумарна густина струму теж дорівнює 0.За присутності поля Е середня швидкість електронів відмінна від 0 і напрямлена протилежно до поля( так як заряд е- від’ємний)Цю швидкість можна знайти таким чином:

Розглянемо довільний електрон в нульовий момент часу.

Нехай t- це час, що пройшов після його останнього зіткнення. Швидкість даного електрона в нульовий момент часу буде дорівнювати його швидкості V0 безпосередньо після зіткнення плюс додаткова швидкість -еЕt/m, яку електрон набув після зіткнення. Так як ми припускаємо,що після зіткнення швидкість електрона може мати довільний напрямок,внесок від V0 в середню швидкість електрона дорівнює середньому значенню величини –еЕt/m. Однак, середнє значення t дорівнює часу релаксації τ.Тому маємо:

V=-eEτ/m ; J=(ne²τ/m)E (5)

Цей результат зазвичай формулюють, використовуючи характеристику, обернену питомому опору, - провідність

σ=1/g

J=σE; σ=ne2τ/m (6)

Таким чином, ми отримали лінійну залежність J від Е і найшли для провідності σ вираз,в який входять лише відомі величини і час релаксації τ. Як наслідок, використовуючи (6 ) і дослідні значення питомого опору можна визначити, скажімо величину часу релаксації:

τ=m/nge²

Питомий опір дуже залежить від температури. При кімнатній температурі питомий опір залежить від температури приблизно лінійно, але при досягненні низьких Т він різко зменшується. Таким чином, при кімнатній температурі питомі опори зазвичай мають порядок одного мікроом-сантиметра. Якщо gμ-питомий опір, виражений в мкОм/см, співвідношення (7) для часу релаксації зручно записати у вигляді:

τ=(0.22/gμ)(rs/a0)3·10-14c. (8)

Отже, при кімнатній температурі τ виявляється порядку

10-14-10-15 с. Щоб зрозуміти, чи є це розумним значенням , корисно розглянути середню довжину вільного пробігу l=V0*t, де V0 –середня швидкість електрона. Довжина l характеризує середню відстань, що проходить е- між зіткненнями. У часи Друде було очевидно оцінювати V0 виходячи із класичного закону рівномірного розподілу енергії за степенями вільності:

½ mV0 ²=3/2kвT

Підставляючи сюди відому масу електрона знаходимо, що V0 має порядок 107 см/с при кімнатній температурі і, як наслідок, довжина вільного пробігу становить від 1 до 10Ǻ. Так як ця відстань порівняно з міжатомною, результат повністю узгоджується з припущеннями Друде про те, що зіткнення пояснюється співударом електронів з великими важкими іонами. Однак, в подальшому ми побачимо, що класична оцінка при кімнатній температурі дає значення V0 на порядок величини меньше дійсного( реального). Крім того ,при найбільш низьких температурах τ на порядок величини більший,ніж при кімнатній температурі. Оскільки V0 в дійсності не залежить від температури (це показано далі), то виявляється, що при низьких температурах довжина вільного пробігу може зрости до 103 і більше Ǻ, тобто, в 1000раз перевищувати міжіонною відстань. Зараз, працюючи при достатньо низьких Т із ретельно приготованими зразками, можна досягнути середніх довжин вільного пробігу порядку 1 см (тобто, біля 108 міжіонних відстаней). Це явно вказує на те, що електрони не просто співударяються з іонами, як припускав Друде. Однак, ми можемо далі використовувати для розрахунків модель Друде, хоча і не до кінця розуміємо природу зіткнення. Не маючи теорії часу вільного пробігу, важливо знайти такі припущення моделі Друде, які не залежать від величини часу релаксації τ. Виявляється, існує декілька подібних не залежних від τ величин, які і досі цікавлять, оскільки у багатьох відношеннях точний кількісний розгляд часу релаксації залишається найслабшою ланкою у сучасній теорії провідності металів. В результаті незалежні від τ величини є наібільш цінними, тому що часто вони дають найнадійнішу інформацію. Особливо важливі два випадки:

1.Розрахунок електропровідності при наявності просторово- однорідного постійного магнітного поля;