Реферат: Теорія металів Друде

2. Розрахунок електропровідності при наявності просторово-однорідного, але незалежного від часу електричного поля.

В обох випадках зручно користуватися наступним зауваженням:у кожен момент часу t середня швидкість електронів:

Vc =p(t)/m,

де р-середній імпульс, тобто, повний імпульс, що приходиться на один електрон. Як наслідок, густина струму :

J=-(nep(t))/m

Нехай в момент часу t середній імпульс електронів –р(t).Обчислимо тоді p(t+dt)-середній імпульс одного електрона по завершенню нескінченно-малого проміжку часу dt. Ймовірність того ,що взятий навмання в момент часу t електрон випробував зіткнення до моменту t+dt, дорівнює dt/τ, тому ймовірність того, що він доживе до моменту часу t+dt без зіткнень дорівнює 1-dt/τ.Однак, коли електрон не переживає зіткнень, він просто рухається під дією сили f(t)(обумовленої просторово-однорідним електричним або магнітним полем) і набуває тому додатковий імпульс:

f(t)dt+O(dt)².

Електрони не переживши зіткнень в інтервалі між моментами часу t і t+dt, додають в імпульс, що приходиться на один електрон в момент t+dt внесок, який дорівнює добутку (1-dt/τ) (тобто, відношення числа таких електронів до повного їх числа) на середній імпульс даного такого електрона:

p(t)+f(t)dt+O(dt)²

Тому нехтуючи поки що внеском в p(t+dt) від тих електронів, які пережили зіткнення за час між t і t+dt одержуємо:

p(t+dt)=(1-dt/τ)[p(t)+f(t)dt+O(dt)²]=p(t)-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)² (10)

Поправка до (10) за рахунок тих електронів,які випробували зіткнення в інтервалі від t до t+dt виявляється лише порядку (dt)². Крім того,оскільки безпосередньо після зіткнення швидкість (і імпульс) направлені довільним чином , кожен такий електрон буде робити внесок в середній імпульс p(t+dt) лише завдяки тому, що за час після останнього зіткнення він набув за рахунок сили f деякий імпульс. Цей імпульс набувається за проміжок часу не більший за dt і тому має порядок f(t)dt. Як наслідок, поправка до (10) виявляється порядку(dt/τ)f(t)dt і не впливає на складові, лінійні по dt. Таким чином, можна записати :

P(t+dt)-p(t)=-(dt/τ)p(t)+f(t)dt+O(dt)², (11)

Де O(dt)-складова порядку (dt)²,де врахований внесок в p(t+dt)всіх електронів. Поділивши на dt і взявши границю при dt 0,знайдемо:

dp(t)/dt=-p(t)/τ+f(t) (12)

Це рівняння означає ,що еффект зіткнення окремих електронів зводиться до введення в рівняння руху для імпульса ,що приходиться на один електрон додаткового члена,що описує згасання за рахунок тертя.

4. Ефект Холла і магнетоопір

У 1879 р. Холл намагався вияснити, чи діє сила, випробувана провідником зі струмом в магнітному полі на весь провідник чи лише на один електрони, що рухаються в провіднику. Сам він підозрював друге і його експеримент оснований на тому, що якщо електричний струм у закріпленому провіднику сам притягується до магніту, то цей струм повинен підходити все ближче до однієї із сторін провідника і тому досліджуваний ним опір повинен зростати. “Його спроби виявити такий додатковий опір виявилися безуспішними , але Холл вважав, що це дозволяє робити остаточні висновки: ”Магніт може намагатися відхилити струм, не маючи здатності зробити це. Очевидно, в такому випадку у провіднику існував би стан напруги ,ніби як електричний струм, що діє у напрямку однієї із сторін провідника”. Подібний стан напруги повинен проявлятися в існуванні поперечної різниці потенціалів(або е.р.с. Холла, як її сьогодні називають), яку Холлу вдалося спостерігати.

Схема експерименту Холла z

До провідника, розміщеного вздовж осі х, прикладене електричне поле Ех., що викликає електричний струм Jx .Існує також, окрім того, магнітне поле Н, паралельне осі z. В результаті виникає сила Лоренца:

-eVc/c*H (13).

Вона відхиляє електрони у негативному напрямку осі у (дрейфова швидкість електронів напрямлена проти струму). Однак електрони не можуть довго рухатися у напрямку осі у ,оскільки вони досягають границі провідника. У міру того ,як вони там накопляються ,наростає електричне поле, напрямлене вздовж осі у і протидіюче руху і подальшому накопиченню електронів. У стані рівноваги це поперечне поле (або поле Холла) Еу компенсує силу Лоренца і струм протікає лише у напрямку осі х. Дві величини цікавлять нас .Одна з них - це відношення поля вздовж провідника Ех до густини струму Jx:

g(H)=Ex/Jx (14)

Холл виявив, що ця величина (магнітоопір) не залежить від поля. Іншою характеристикою є величина поперечного поля Еу. Оскільки таке поле зрівноважує силу Лоренца, можна вважати, що воно повинно бути пропорційним як прикладеному полю Н, так і струму Jx в провіднику. Тому величину ,названу коефіцієнтом Холла визначають як

RH=Ey/JxH (15)

Оскільки поле Холла напрямлене проти осі (мал.3), коефіцієнт RН повинен бути негативним. З іншої сторони, якби заряд носіїв був позитивним, знак їх х-компоненти швидкості був би зворотнім і сила Лоренца залишилася б незмінною. В результаті, поле Холла мало би напрям, протилежний тому, яке воно має при від’ємно заряджених носіях. Цей висновок дуже важливий, оскільки він означає, що вимірювання поля Холла дозволяють визначити знак носіїв заряду. Експериментальні дані, вперше одержані Холлом, були у відповідності із знаком заряду електрона, визначеним пізніше Томсоном. Одна із хороших особливостей еффекту Холла полягає в тому ,що в деяких металах коефіцієнт Холла позитивний і тому носії мають мати протилежний заряд. Щоб визначити коефіцієнт Холла і магнітоопір, визначимо спочатку густину струму Jx і Jy на випадок., коли єелектричне поле з довільними компонентами Ex і Ey, а також магнітне поле Н, напрямлене вздовж осі Z. На кожен електрон діє сила ƒ=-е(Е+V0H/с), тому рівняння (12) для імпульсу у розрахунку на один електрон набуває вигляду:

dp/dt=-e(E+p/mc*H)-p/τ (16)

У стаціонарному стані струм не залежить від часу, тому рx і рy задовольняють рівняння:

0=-eEx-wc py-px/τ (17)

0=-Ee+wc px-py/τ

де

wс=eH/mc (18)

Домножимо ці рівняння на –neτ/m і вводячи компоненти густини струму (4), знайдемо

σEx=wcτ*jy+jx

σEy=wcτ*jx+jy, (19)

де σ-статична електропровідність для моделі Друде за відсутності магнітного поля(що описується (6)). Поле Холла Еy визначається за умови перетворення в 0 поперечного струму Jy. Якщо Jy=0 у 2-гій (19), одержуємо:

E y=-(wcτ σ)*Jx =-(H/nec)*Jx (20)

R H=-1/nec (21)

Це вражаючий результат: згідно нього коефіцієнт Холла не залежить ні від яких параметрів металу, окрім густини носіїв. Вище ми обчислили n, вважаючи, що валентні електрони атома в металі перетворюються в електрони провідності. Вимірювання коефіцієнтів Холла дає прямий спосіб перевірки справедливості такого припущення.

5. Високочастотна електропровідність металу.

Для того щоб обчислити струм, залежний від часу, який створений в металі електричним полем, запишемо його у вигляді :

E(t)=Re((ω)e-iωt) (23)

Тоді рівняння руху

dP(t)/dt=-P(t)/τ+f(t)

для імпульсу який припадає на один електрон , набуває вигляду :

dP(t)/dt=-P/τ-eE (24)

Знайдемо стаціонарний розв’язок у формі