Реферат: Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
1) числові значення моменту, що дорівнює 
;
2) площина, у якій лежать сила 
і точка 
;
3) напрям, в якому діє сила.
Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора 
, якщо 1) 
; 2) 
(
- площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку
між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор 
(рис.2.13), то, враховуючи, що
Рис. 2.13а Рис.2.13б
, матимемо числове значення вектора :
а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку 
. Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і .
Розглянемо впорядковану трійку векторів 
яка віднесена до спільного початку. Вектори 
утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора 
видно найкоротший поворот від вектора 
до вектора 
проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.
Означення. Векторним добутком вектора на вектор
називається такий третій вектор , довжина якого чисельно
дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.
З означення випливає, що довжина вектора становить
.
Векторний добуток на позначається символом
або 
.
Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати: 
або 
, а напрямок вектора 
, якщо
поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.
До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком 
.
З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).
Умови колінеарності двох векторів і виглядає так:
і, зокрема, 
.
Умову колінеарності можна виразити і так: 
, де 
- числовий множник.
Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.
|
|
Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що 
Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись
Рис.2.14
у протилежному напрямку, то матимемо
.
Нехай 
.
Тоді 
.
Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо
.
Отже,
. (2.15)
Основні властивості векторного добутку.
10. 
(ця властивість доведена раніше).
20. 
.
Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.
30.
і 
.
Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).
40. 
Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.
Приклад . Знайти віддаль від точки 
до прямої,
що проходить через точку 
паралельно вектору 
.
Р о з в ’ я з о к. На векторах 
і побудуємо паралелограм 
(рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і 
, то 
.
Отже,
.
Тому
.
Оскільки 
, то 