Реферат: Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів
План
Скалярний добуток векторів.
Властивості скалярного добутку.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами.
Векторний добуток векторів.
Властивості векторного добутку.
Векторний добуток векторів, заданих координатами.
Змішаний добуток векторів.
Змішаний добуток векторів, заданих координатами.
1. Скалярний добуток двох векторів
Скалярним добутком двох векторів 
і 
називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто
Тут символ 
означає кут між векторами. Нехай 
.
Тоді 
тобто скалярний добуток будь-якого вектора на одиничний вектор визначає величину проекції вектора на напрямок одиничного вектора.
Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.
Приклад. Під дією даної сили 
тіло перемістилося у даному напрямку на величину 
. Обчислити роботу сили (рис.2.12).
|
|
Рис.2.12
Р о з в ’ я з о к. Розкладемо силу на суму двох доданків : 
. Очевидно, робота суми сил дорівнює сумі складових сил. Але робота сили 
, перпендикулярної до напрямку шляху, дорівнює нулю, а робота сили 
, паралельної шляху, дорівнює добутку модуля сили на довжину шляху:
.
Але 
, тому остаточно одержимо
.
Скалярний добуток позначається одним з трьох способів:
.
Основні властивості скалярного добутку.
10. 
Якщо 
то 
Якщо 
то або 
або 
або 
а у нульового вектора напрям - довільний.
20. 
- випливає зразу з означення .
30. 
40.
.
Нехай 
Тоді
,
бо добутки взаємно перпендикулярних одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.
Отже,
, (2.9)
тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.
Якщо 
, то з (2.9) маємо
(2.10)
Тому 
(2.11)
З формули (2.10) маємо 
. (2.12)
Формулами (2.10) і (2.12) визначаються відповідно квадрат довжини вектора і квадрат віддалі між точками 
і 
.
Якщо вектор -одиничний, то його проекціями на осі координат 
і 
відповідно є 
і 
. Тому з формули (2.11) маємо
. (2.13)
Оскільки 
, то
. (2.14)
Якщо у формулі (2.14) вектор 
,то одержимо косинус кута, що його утворює вектор з віссю 
:
Аналогічно матимемо косинуси кутів 
і 
вектора з осями відповідно 
і:
Приклад. Визначити кут між векторами і 
, якщо вектор
перпендикулярний до вектора 
, а вектор 
перпендикулярний до вектора 
.
Р о з в ’ я з о к. Із перпендикулярності векторів і 
маємо
.
Аналогічно
.
Отже, маємо систему рівнянь:
Віднявши від першого рівняння друге, одержимо
Тоді 
Отже, 
2. Векторний добуток двох векторів
Як відомо із шкільного курсу фізики, моментом сили відносно точки 
називається добуток сили на довжину плеча 
(плече сили – це відрізок від точки до лінії дії сили 
), тобто 
. Розглянемо силу , момент якої відносно точки треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані: