Реферат: Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

Зауваження. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад.

Знайти похідну від функції

Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси

Похідна від складної функції кількох змінних.

Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .

Приклади.

1. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної :

Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення:

(6.45)

Приклад.

Знайти похідну від функції , якщо , .

Р о з в ’ я з о к.

Якщо, зокрема, , , тобто, якщо один із аргументів функції є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній ) дає вираз повної похідної від функції по :

(6.46)

Нехай є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних і . Нехай має неперервні частинні похідні по і по , а і мають частинні похідні по . За таких умов формула диференціювання складної функції записується так:

(6.47)

....

Приклад.

Знайти частинні похідні від функції , якщо , .

Р о з в ’ я з о к.