Реферат: Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної
а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.
Має вигляд
,
(2.33)
Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією.
Тоді ф-я
(2.34)
являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < +
.(2.35)
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36)
Проінтегруємо ДР (2.34) від до x
Знаходимо с з умови (2.36)
(2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.
Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки
, в якій
приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня
(2.331)
Пряма являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо
- частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при
.
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
(2.38)
Припускаємо, що ф-я визначена і неперевна на інтервалі
. Замість (2.38) розглянемо ДР
(2.39)
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).
Якщо , y є (c,d), то
(2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області
c < y < d, -< x < +
.
Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.
Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при
, то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок
буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо
частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях
, якщо особливий, то при
.
Якщо в тоцчі
перетворюється в нескінченність
, то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на
має єдиний розвязок
.
Пр. 2.5
Розглянемо ДР .
Область визначення : .
Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в
єдиний
,
.
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
(2.42),
де - неперервні ф-ї своїх аргументів.
Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах.
(2.43).
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають
. Отже
(2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.
Рівняння вигляду
(2.45) –
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на
, отримуємо
(2.46).
Аналогічно записуємо
(2.47) –
загальний розвязок ДР (2.45) і
(2.48) –
розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями
,
. Дійсно, нехай
, то
отже
- розвязок ДР (2.45).
Аналогічно .
Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).
З розвязку ми повинні викинути точку
, так як в точці
ДР (2.45) не визначає нахил поля
. По тій же причині з розвязку
викидають точку
.
Таким чином розвязки і
примикають до точки
і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
.
Розвязок:
.
.
.
.
.
.
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
(2.5),
в якому ф-ії і
являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.