Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
,
звідки
.
Інтегруючи це рівняння й повертаючись від змінної 
до змінної 
, отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння.
Прикладі 2. Розв’язати рівняння 
.
Р о з в ‘ я з о к. Це рівняння однорідне. Виконаємо у цьому рівнянні заміну залежної змінної 
Тоді
.
Відокремлюючи змінні, одержуємо: 
, звідки
.
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд 
.
Приклад 3. Покажемо, як розв’язується рівняння, наведене в прикладі 3, за допомогою полярних координат.
Перейдемо до нових змінних 
та 
за формулами
.
Звідси
Отже,
.
Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду
Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо
.
На основі властивості пропорції позбудемося дробів:
Спрощуючи це рівняння, отримаємо
.
Відокремлюємо змінні
.
Інтегруємо
.
(довільну сталу позначили як 
) . Звідси 
.
Повернемось до старих змінних 
та й спростимо вираз. Отримаємо шуканий загальний інтеграл 
або 
.
Зауваження. До однорідних рівнянь зводяться диференціальні рівняння вигляду
(12.12)
1. У разі, коли 
, слід виконати заміну змінних
, де 
і 
- сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на однорідне рівняння вигляду
.
Оскільки 
та 
,
сталі 
і слід підібрати так, щоб виконувались рівняння
Ця система має єдиний розв’язок (згідно з умовою ).
2. Якщо 
, то 
, оскільки 
, та 
. В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді
. (12.13)
Якщо в цьому рівнянні виконати заміну змінної за формулою 
, то рівняння (12.13) перетвориться у диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Справді, маємо 
і , отже, 
.
Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо рівняння
,
у якому змінні легко відокремлюються.
Приклад 4. Розв’язати рівняння
.
Р о з в ‘ я з о к. Це - диференціальне рівняння вигляду (12.13). Перевіримо, чи виконується для нього нерівність 
. Отже, в цьому рівнянні слід виконати заміну змінних та за формулами 
. Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:
.
Для визначення і отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь
головний визначник якої дорівнює 
і, отже, система має єдиний розв’язок:
, 
. Це дозволяє виконати заміну змінних і: 
,
в результаті якої отримуємо однорідне рівняння 
. Виконаємо в цьому рівнянні заміну змінної 
за формулою 
. Маємо 
.
Відокремлюємо змінні та 
:
.
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
або
.
Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:
.
Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння
або, після спрощень,
.
12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:
(12.14)
де 
- задані неперервні функції від .
Якщо, зокрема, 
, то рівняння
(12.15)
називається лінійним однорідним (або без правої частини), а рівняння (12.14), в якому 
- неоднорідним.
Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:
.
Загальний інтеграл рівняння
,
а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)
(12.16)
Щоб відшукати загальний розв’язок рівняння (12.14), використаємо так званий метод варіації довільної сталої Лагранжа. Суть його полягає в тому, що розв’язок рівняння (12.14) шукатимемо у вигляді, аналогічному (12.16), але вважатимемо у цій формулі 
не сталою, а невідомою функцією від :