Реферат: Числові послідовності

Послідовність називається необмеженою, якщо

Приклади .

1. Нехай Тоді Отже, послідовність є обмежена.

2. Розглянемо послідовність Тут Яке б число ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад , коли Отже, задана послідовність не є обмежена .

Зауваження. Обмежена послідовність не є обов’язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність є обмежена , але не є монотонна; послідовність є монотонна, але не є обмежена; послідовність є і необмежена, і немонотонна; послідовність є обмежена і монотонна.

2. Границя числової послідовності

Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття.

Означення . Стале число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує таке натуральне число що для всіх виконується нерівність

(5.2)

Той факт, що є границею послідовності символічно

записується так:

або при

Іншими словами, число називається границею послідовності якщо . (5.3)

Приклад. Довести, що Знайти номер такий, коли при

Р о з в ’ я з о к. Згідно з означенням границі треба показати, що

(5.4)

Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб

або .

Отже, існує число ,а саме коли при виконується нерівність(5.4). Тому Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай тоді

Тому нерівність

справедлива для всіх

Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є

границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами

Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з повинні знаходитися в інтервалі Інтервал є - околом точки .

Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких знаходяться у довільному - околі точки. Що стосується членів послідовності номери яких то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки, так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.

3. Властивості збіжних числових послідовностей

Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.

Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною.

Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Зауваження . Оберненого твердження цієї теореми не існує.

Так, послідовність є обмежена, але вона не має границі.

Теорема 3. Якщо і то й члени послідовності починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, будуть більші за (менші за ).

Наслідок 1. Члени послідовності яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі.

Наслідок 2. Якщо дві послідовності і при кожному значенні задовольняють нерівності і то

Зауваження . Якщо члени послідовностей і що мають границі, задовольняють при всіх нерівності то