Реферат: Числові послідовності

План

· Числові послідовності.

· Границя, основні властивості.

· Границя монотонної послідовності і функції.

· Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості.

· Порівняння величин.

· Еквівалентні нескінченно малі величини.

Числові послідовності

1. Означення числової послідовності

Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них.

Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер

(5.1)

де числа - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності.

Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.

Спосіб 1. Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності

Приклади.

1. Відповідна числова послідовність має вигляд

2. Дана послідовність має вигляд .

Спосіб 2. При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним.

Наприклад, нехай Так задано послідовність .

Спосіб 3. У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із з надбавкою з точністю до Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:

Геометрично члени послідовності зображаються точками на числовій осі.

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності.

Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного