Реферат: Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів
План
Умовний екстремум
Необхідні умови
Метод множників Лагранжа
Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів
1. Умовний екстремум
У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції
за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку
.
У даній задачі екстремуми функції 
знаходять не на всій площині, а лише на прямій .
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції
(6.89)
при
(6.90)
За наявності умови (6.90) із двох змінних 
і 
незалежною буде лише одна, наприклад , оскільки визначається із рівності (6.90) як функція . Якщо із (6.90) знайти явну залежність від і підставити її в (6.89), то одержимо функцію однієї змінної , яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.
У точках екстремуму похідна 
має дорівнювати нулю. Враховуючи, що є функція від , знаходимо 
.
Отже, в точках екстремуму
. (6.91)
Із рівності (6.90) маємо
(6.92)
Домножимо рівність (6.92) на невизначений множник 
і додамо її з рівністю (6.91), одержимо
.
або
(6.93)
(6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник так, щоб в точках екстремуму функції друга дужка у рівності
.
Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:
(6.94)
з трьома невідомими 
. Із системи (6.94) визначаємо 
і , що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.
Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції
,
яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції 
.
Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.
Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.
Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції 
змінних
за умови, що змінні 
зв’язані 
рівняннями:
(6.95)
Складемо функцію Лагранжа
і прирівняємо до нуля її частинні похідні по 
:
(6.96)
Із 
рівнянь (6.95) і (6.96) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих 
. Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.
Приклад. За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об’єм, якщо його повна поверхня має площу 
?
Р о з в ’ я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють і . Його об’єм 
, а площа поверхні 
. Потрібно знайти найбільше значення функції за умови 
.
Складаємо функцію Лагранжа
і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:
, 
,
, .
Звідси знаходимо 
. Точка 
є критичною точкою функції 
. Оскільки поставлена задача має певний розв’язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.
Шуканий паралелепіпед – куб із стороною 
.
2. Знаходження функції на основі експериментальних даних
за методом найменших квадратів
У різних областях людської діяльності широке розповсюдження мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.
Нехай на основі експерименту потрібно встановити функціональну залежність величини від величини : 
.
В результаті одержано значень функції при відповідних значеннях аргументів і результати записані так:
Вид функції 
встановлюється або із теоретичних міркувань, або на основі аналізу графіка функції . Для цього слід побудувати в прямокутній декартовій системі координат точки, відповідні експериментальним значенням. Ці точки в дальшому будемо називати експериментальними. Якщо експериментальні точки розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 6.15, то доречно будувати залежність від у вигляді лінійної функції 
. Якщо експериментальні точки розміщені так, як показано на рис. 6.16, то функцію будемо шукати у вигляді 
.
При вибраному вигляді функції 
залишається добрати параметри 
так, щоб вони якнайкраще і описували