Реферат: Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
План
Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Ознака Даламбера
Радикальна ознака Коші
Інтегральна ознака Коші
13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
Нехай задані два ряди з додатними членами
(13.4)
(13.5)
Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто 
, то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).
Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) – збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через 
і 
. Оскільки
,
то, очевидно,
Ряд (13.5) – збігається, тому існує границя 
його частинної суми
Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що 
і тоді в силу нерівності 
Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при 
Отже, ряд (13.4) збігається.
2) Нехай ряд (13.4) – розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.
Приклад.1 Дослідити збіжність ряду
Р о з в ‘ я з о к. Ряд 
знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:
і ряд 
збігається ( тут 
), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.
Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності 
виконуються, починаючи з деякого 
Відкинувши перших 
членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.
Теорема 2. Якщо існує границя
(13.6)
то із збіжності ряду (13.5), при 
випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) – розбіжність ряду (13.5) при 
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і 
Взявши довільне як завгодно мале число 
за визначенням границі, для
достатньо великих 
будемо мати
, звідки 
Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд 
одержаний множенням його членів на постійний множник 
Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).
Якщо ряд (13.5) розбігається і 
то в цьому випадку обернене відношення 
має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.
Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду
Р о з в ‘ я з о к. Нехай 
а 
Ряд 
збігається
.Оскільки
то із збіжності ряду 
випливає збіжність і ряду
13.4. Ознака Даламбера
Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення 
го члена до 
го при має (скінчену) границю 
тобто
(13.7)
то:
1) при 
ряд (13.4) збігається;
2) при 
ряд (13.4) розбігається;
3) при 
теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай 
Розглянемо деяке число 
що задовольняє умові 
Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх 
буде виконуватися нерівність
(13.8)
Дійсно, оскільки величина 
прямує до границі то , починаючи з деякого номера 
різниця між величиною і числом 
може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за 
тобто
Звідси і випливає нерівність (13.8).
Запишемо нерівність (13.8) для різних значень 
починаючи з номера 
:
. (13.9)
Розглянемо тепер два ряди:
,
.
Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником 
, тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з 
, менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд - збігається, а це і є ряд (13.4).
2) Нехай 
Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність
,
або 
Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера 
, а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.