Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної
Дійсно, припустимо, що _____ похідні 
, тоді
, звідки
(5.12).
Припустимо, що 
, тоді 
буде необмеженою при умові
(5.13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи
(5.14)
Розв’язок системи (5.14)
=0 (5.15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.
Приклад 5.2.
(5.16)
, 
(5.17)
Співвідношення (5ю17) – дискримінантна крива рівняння (5.16). А на ній ми маємо не два а один напрямок поля 
. В той же час – через неї може проходити не одна 
.
5.3. Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
(5.18)
Так, що 
при всіх значеннях параметрів 
і 
.
Використовуючи (5.18) і співвідношення 
ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.
Тому
Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
(5.19)
Якщо
(5.20)
загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.
(5.21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.
Це рівняння має вигляд
(5.22)
За параметри і можна взяти 
і 
. Позначимо 
, тоді
(5.23)
Маємо
Звідки
(5.24)
Нехай 
– загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді 
– загальний розв'язок Д.Р. (5.22).
Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок 
, тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок 
.
Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
(5.25)
Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді
Використовуючи співвідношення 
, отримаємо
(5.26)
Якщо 
– загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то
(5.27)
загальний інтеграл Д.Р. (5.25).
Якщо 
– особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то 
-може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
(5.28)
Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо 
. Тоді
(5.29)
З (5.29) маємо
(5.30)
Д.Р. (5.30) лінійне по
(5.31)
Нехай 
– розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі
(5.32)
Особливі розв'язки можуть бути там, де
(5.33)
тобто
(5.34),
де 
– корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.
Г. Рівняння Клеро.
Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли 
.
(5.35)
Покладемо 
, тоді
(5.36)
Використовуючи 
, отримаємо
(5.37)
Рівняння (5.37) розпадається на два
(5.38)
Перше рівняння дає 
, підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок
(5.39)
Друге - 
, разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі
(5.40)
Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно
звідки
(5.41)
Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).
Приклад 5.3.
Розв’язати рівняння Лагранжа
.
Покладемо . Маємо 
,
, 
Отримали лінійне рівняння
Його розв’язок
(5.42)
(5.43)
загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи 
:
(5.44)
Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають
Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.
Приклад 5.4.
Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –