Реферат: Нелінійні еволюційні рівняння(редукція)

В даній роботі розглядається проблема класифікації нелінійних рівнянь теплопровідності, що допускають редукцію до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Наведені класи нелінійних еволюційних рівнянь, анзаци та системи ЗДР, до яких за допомогою цих анзаців редукуються вихідні рівняння. Одержано нові класи рівнянь, що редукуються до системи чотирьох ЗДР.

Розглянемо рівняння

(1)

з додатковою умовою на функцію :

, (2)

де .

Редукцію рівняння (1) з квадратичними нелінійностями проведено в роботі [1] для випадків та . В [2] доведено, що для еволюційних рівнянь другого порядку не існує умовних симетрій порядку вище 5, тобто в рівнянні (2) .

В [3] було запропоновано новий метод класифікації нелінійних еволюційних рівнянь, що допускають умовні симетрії вищих порядків. Стосовно задачі (1), (2) цей алгоритм можна сформулювати так: диференціюємо (2) за змінною , а (1) разів за змінною ; вилучаємо з розгляду мішані похідні функції та похідні за змінною порядків, вищих за ; розщеплюємо одержане рівняння відносно та її похідних; роз’вязуємо одержану перевизначену систему рівнянь для знаходження явного вигляду та , для яких система (1),(2) є сумісною; знаходимо розв’язки рівняння (2). Підстановка одержаних анзаців

, (3)

де - фундаментальна система розв’язків рівняння (2), а - довільні функції, в рівняння (1) редукує останнє до системи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку.

Випадок розглянутий в [4]. Застосувавши описаний алгоритм для одержуємо:

1) ,

де при та при ;

2) ,

, , ,

;

3) ,

.

: ,

.

: ,

.

Таким чином, в рамках даного підходу ми можемо розглядати рівняння (1) лише з квадратичними нелінійностями.

Зауваження 1. У випадку при одержано ряд додаткових умов виду (2), що дозволяють провести редукцію (1) до системи трьох ЗДР.Усі ці рівняння вдалось проінтегрувати. Одержані анзаци є частковими випадками анзаців, побудованих для . Ці результати будуть наведені нижче.

Зауваження 2. Випадок є новим, так як він не може бути одержаний, як частковий з випадку , наведеного в [1].

Зауваження 3. Заміною ми можемо вилучити з розгляду доданок . Якщо , то після заміни коефіцієнт при дорівнює 1. При , поклавши , одержимо, що коефіцієнт при дорівнює . Крім того, підстановка зводить випадок 3) () до випадку 1) при .

З урахуванням останнього зауваження наведем список нелінійних еволюційних рівнянь, відповідних їм рівнянь (2) , анзаців (3) та редукованих за їх допомогою систем ЗДР.

1. , .

,

.

,

.

,

.

2. ,

.

,

3. ,

.

,

,

,

4. , .

,

5. , .

,

6. , .

,

(4)

7. , .

,

(5)

8. , .