Реферат: Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями
План
Неперервність функції в точці та в області.
Дії над неперервними функціями.
Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій замкнутій області.
Точки розриву та їх класифікація.
Павутинні моделі ринку.
1. Неперервність функцій.
Розриви функції та їх класифікація
Означення 1. Функція називається неперервною в точці
:
1) якщо функція , визначена в точці
;
2) якщо існує границя в точці
;
3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто .
Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці
. В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності функції.
Означення 2. Функція називається неперервною в точці
, якщо для будь-якого як завгодно малого числа
існує таке число
, що для всіх точок
, які задовольняють нерівності
, виконується нерівність
.
На практиці при дослідженні функції на неперервність часто користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку
. Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку
і , де
.
Тоді число називається приростом аргументу, а число
- приростом функції
в точці
.
Нехай в деякій (відкритій) області задана функція двох змінних . Візьмемо довільну точку
цієї області і надамо
приросту
, залишаючи значення
незмінним.
При цьому функція одержить приріст
, який називається частковим приростом цієї функції за
.
Аналогічно, вважаючи постійною і надаючи
приросту
, одержимо частинний приріст от функції
за
:
.
Приріст
називається повним приростом функції в точці
, відповідним приростfм
і
незалежних змінних.
Означення 3. Функція називається неперервною в точці
, якщо
.
Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.
Будемо називати функцію неперервною в області
(замкнутій чи незамкнутій), якщо вона неперервна в кожній її точці. При цьому неперервність в будь-якій граничній точці області визначається так: функція
неперервна в граничній точці
, якщо для будь-якого додатного числа
існує число
таке, що для всіх точок
області
, які задовольняють умові
, виконується нерівність
.
Спираючись на теореми про границі і на означення неперервності легко переконатися в такому.
Теорема. Сума, різниця, добуток і частка від ділення двох неперервних функцій також неперервна (для частки – за винятком тих значень аргументів, що перетворюють на нуль знаменник), тобто, якщо і
неперервні в точці
, то в цій точці будуть неперервними і функції
Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції. Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї змінної.
Нехай - деяка функція аргументу
, а
- деяка функція аргументу
, при цьому область означення
першої функції має спільну частину
з областю значень
другої функції. За цих умов на тій частині
області значення
функції
, яка відповідає
, буде означена складна функція
.
Нехай в деякій точці функція
неперервна функція аргументу
, а у відповідній точці
функція
неперервна як функція аргументу
. Інакше,
,
.
Тоді
,
що доводить теорему.
Теорема. Якщо функція неперервна в точці
, а функція
неперервна в точці
, то й функція
неперервна в точці
.