Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші

2) якою б не була початкова умова ( із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв’язку), можна знайти таке значення , що функція задовольняє даній початковій умові.

Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

не розв’язаному відносно В таких випадках загальний розв’язок залишається в неявному вигляді. Рівність , що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним інтегралом.

Означення 2. Частинним розв’язком називається довільна функція яка одержується із загального розв’язку якщо в останньому довільній сталій надати певного значення Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом.

З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою однопараметричне сімейство кривих на координатній площині, що залежить від одного параметра Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку точку площини.

Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це значить:

а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл (якщо не задані початкові умови);

б) знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

Нехай диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має вигляд

(*)

Це рівняння для кожної точки з координатами та визначає . І, отже, похідну . Але значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до інтегральної кривої , яка проходить через цю точку. Отже, диференціальне рівняння (*) дає сукупність напрямків (так зване поле напрямків) на площині . З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних точках.

Практично для зображення поля напрямків слід у кожній точці із області визначення функції накреслити стрілки, які утворюють з віссю кути, тангенси яких дорівнюють значенням у цих точках. При побудові полів напрямків зручно користуватися ізоклінами (грецькі isos – рівний, однаковий, klino -нахиляю), лініями, у всіх точках яких напрям поля один і той самий.

Так, ізоклінами рівняння є прямі , паралельні осі (рис.12.2). Усі інтегральні криві цього рівняння в точках перетину з прямою нахилені до осі під кутом .

Рис.12.2