Реферат: Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено до­рівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Вна­слідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різ­номанітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити дифе­ренціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну на­зивають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різни­ця) ввів у математику Лейбніц.

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

при х 0,

звідки

(1)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f' (х) 0 є нескінченно малою одного порядку з х , тому що (гл. 4, п. 4.3):

Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж х , тому що

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

dy = f' (х) х. (2)

Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = х, тобто диферен­ціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом х. Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f'(x)dx. (3)

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диферен­ціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною части­ною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

PN =y, QN = MNtg=хf'(x) = f'(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х до­рівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозумі­ло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень х.

З'ясуємо механічний зміст диферен­ціала. Нехай матеріальна точка руха­ється за відомим законом

S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому про­міжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рів­номірно із сталою швидкістю . Зрозуміло, що фактичний шлях S у випадку нерівномірного руху на від­міну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикла­дах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

d (u ± ) = du ± d;

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диферен­ціала маємо

d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.

Особливо важливий висновок випливає з правила диференцію­вання складеної функції. Нехай у = f (х) = f ( (t)) — складена функція з проміжним аргументом х =(t) і кінцевим аргументом t, причому функції f (х), (t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а отже, і диференціал

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)

Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції

у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою неза­лежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функ­цією іншої змінної.

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмін­ністю) форми диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

dx = x'(t)dtx.

3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Як уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: ydy. Під­ставивши сюди значення y і dy, дістанемо

(6)

Абсолютна похибка величини y — dy є при х 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж x , тому що при f' (х) 0 величини y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю

f(х + х)f(х). (7)