Реферат: Диференціал
План
Диференціал функції.
Геометричний зміст диференціала.
Лінеаризація функції.
Диференціал складної функції.
Повний диференціал функції декількох змінних.
Достатні умови диференційованості функції.
Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.
Інваріантність форми диференціала.
Диференціювання функцій, заданих параметрично.
Неявні функції, їх диференціювання.
1. Диференціал функції
1.1 Означення диференційованої функції
Означення. Функція називається диференційованою в точці
, якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.48)
де - число, а
прямує до нуля, коли приріст
прямує до нуля.
Означення. Функція називається диференційованою в точці
, якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:
(6.49) де
- числа;
і
- нескінченно малі при
(при
).
Теорема. Для того щоб функція в точці
була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна
. При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала
дорівнює саме цій похідній:
(6.50)
Наслідок. Якщо функція в точці
має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.
Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає
.
Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.
Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці
, неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.
Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними
і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці
, то функція
диференційована в цій точці.
Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.
1.2 Диференціал
Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток
при
є величина вищого порядку малості, ніж
,
тоді як перший доданок , якщо
і
, є величина одного порядку малості з
. Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при
і
є величина вищого порядку малості, ніж перший,
Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.
Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці
і позначається символом
або
,
,
. (6.51)
Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду
,
або
(6.52)
Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:
1. ,
.
2. ,
.
3. ,
.
4. ,
.
5. ,
.
6. ,
.
7. ,
.
8. ,
.
9. ,
.
10. ,
.
11. ,
.
12. ,
.
13. ,
.
14. ,
.
15. ,
.
16. ,
.
17. ,
.
18. ,
.
Властивості диференціала. Якщо і
- диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:
1) (
),
2) ,