Реферат: Чотирикутники

ОЗНАЧЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, - сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, які не є сусідніми , називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. У чотирикутнику на малюнку 91 діагоналями є АС, ВD.

С

В ž

А D

Сторони чотирикутника. Що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутну на малюнку 91 протилежними є сторони АВ і СD, ВС і АD.

Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на малюнку 01 позначено так: АВСD. У записі чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник АВСD на малюнку 91 можна позначити ВСDА або СDА, але не можна позначити АВСD (В і D – несусідні вершини).

ПАРАЛЕЛОГРАМ

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих ( мал.93а).

В С

А D

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник – паралелограм.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма перетинаються і точці перетину діляться пополам.

Теорема 3. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення. Нехай АВСD – даний паралелограм Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай ) – точка їх перетику. Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА +ОС і ОВ + OD за теоремою 2. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін АD і ВС.

Рівність протилежних АВС і СDА випливає з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ+СВ і ВС + DА за доведеним, а сторона АС спільна.

Так само рівність протилежних кутів ВСD іDАВ випливає з рівності трикутників ВСD і DАВ. Теорему доведено.

ПРЯМОКУТНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Твердження теореми випливає з рівності прямокутних трикутників ВАD і СDА. У них кути ВАD і СDА прямі , катет АD спільник, а катети АВ і СD рівні як протилежні сторони паралелограма. З рівності трикутників випливає, що їх гіпотенузи теж рівні. А гіпотенузи є діагоналями прямокутника. Теорему доведено.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Доведення. Нехай АВСD – даний ромб., а О – точка перетину його діагоналей. За властивість. Паралелограма АО=ОС . Отже у рівнобедреному трикутнику АВС відрізок ВО є медіаною. За властивістю рівнобедреного трикутника медіана, проведена до його основи, є бісектрисою і висотою. А це означає, що діагональ ВD є бісектрисою кута В і перпендикулярна до діагоналі АС. Теорему доведено.

Квадрат – це прямокутник, якого всі сторони рівні.

Квадрат є також ромбом, тому він має властивості прямокутника і ромба.

ТРАПЕЦІЯ

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.

Теорема 1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Теорема 2. Паралельні прямі що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.