Знайдені на основі відносні швидкості дорівнюють:

(13.ІV)

Знаходимо перші кутові інваріанти:

(14.ІV)

Тут довжина плеча інтерферометра, час його проходження сигналом у системі зі швидкістю Теоретичні результати (14) узгоджуються з дослідними.

Згідно з принципом відповідності Бора, теорема додавання швидкостей (13) у випадку малих повинна ставати теоремою, котра вже підтверджена в оптиці великою кількістю дослідів першого порядку. Така теорема дійсно випливає з (13) при Маємо:

(15.ІІІ)

Із погляду перетворень третього роду (10) ці формули є точними. Теорія досліду Майкельсона, побудована за допомогою формул (15), є суперечливою: одержуються як сталі так і .

Вирази (15) також одержують при використанні радіального наближення на основі наочних уявлень, згідно з якими при додаванні швидкостей і можна не враховувати величини поперечної компоненти У такому наближенні побудована, зокрема, класична теорія Доплера [2].

Формалізми перетворень першого і другого родів для пояснення досліду Майкельсона не придатні. Справді, запишемо вираз із (8) у вигляді де

(16.І)

Відповідний час Одержуємо для і одночленні ірраціональні вирази, які для знаходження кутових інваріантів цього досліду незручні.

Другими інваріантами досліду Майкельсона можна назвати співвідношення оберненої пропорційності між відносними величинами, за допомогою яких цей дослід описується. Тут його другі інваріанти не вивчаються.

§2. Сферична симетричність потенціалу точкового

заряду, який рухається без прискорення

У відповідності з результатом досліду Троутона-Нобля доведемо, що теоретичні передбачення явища сплющення поля рухомого заряду є помилковими.

Скалярний потенціал поля рухомого заряду задовольняє рівняння Даламбера:

(17)

Розв’язок цього рівняння можна записати у вигляді:

(18)

Записи рівняння та його розв’язок для векторного потенціалу знайдемо, здійснивши в (17), (18) заміни де швидкість руху заряду. В цих формулах для потенціалів лапласіан, елемент об’єму з густинами зарядів і струму в ньому, модуль вектора, який сполучає даний елемент об’єму з точкою спостереження у момент часу а квадратними дужками охоплено величини, які потрібно брати в момент

Для виведення потенціалів Льєнара-Віхерта із загаяних потенціалів виду (18) скористаємося наочним методом Планка [8, 92; 9, 314], в якому враховується, що при русі, взагалі кажучи, об’ємного заряду зі швидкістю його внесок в інтеграли для змінюється в порівнянні з випадком нерухомого заряду. Щоб урахувати цю зміну, використовується допоміжна сфера з центром у точці і радіусом який зменшується зі швидкістю При своєму русі сферична поверхня послідовно “збирає” внески від різних перетнутих нею шарів зарядженого тіла, які визначають потенціали в точці

У випадку нерухомого тіла кількість заряду який перетинається ділянкою поверхні збиральної сфери за час дорівнює:

(19)

При русі тіла така кількість заряду буде меншою від на величину

де радіальна складова швидкості тіла в напрямі до точки для даного моменту часу. Поперечна складова згідно з наочними уявленнями, не враховується. В результаті заряд який міститься в об’ємі і дає внесок у інтеграли, визначається виразом

(20.ІІІ)

Візьмемо із (20) значення і використаємо його в інтегралах. Одержимо потенціали для випадку заряду, який рухається з довільною швидкістю. Для зарядів малих розмірів охоплені квадратними дужками величини можна вважати сталими, і тоді [9, 316]:

(21)

де

(22.ІІІ)

Формули (21), (22) визначають потенціали Льєнара-Віхерта. Вадою їх виведення було використання радіального наближення. В результаті відбувся відхід від сферичності як збиральної поверхні, покладеної в основу виведення, так і загаяних потенціалів, відхід від формалізму перетворень Галілея, інваріантом яких є рівняння сфери, і перехід до перетворень третього роду, які описують еліпсоїд обертання.

Внесемо корективи у планківське виведення потенціалів Льєнара-Віхерта. Для знаходження будемо визначати елементарну товщину шарів зарядженого тіла, які перетинає поверхня збиральної сфери за час При цьому означимо одночленом, узагальнюючи випадок коли, згідно з (19), Для випадку руху тіла візьмемо де відносна швидкість означена формулою (16). При такому підході замість (20), (22) одержуємо:

(23.І)

Формули (21), (23) визначають сферично симетричні потенціали Льєнара-Віхерта.

Для випадку рівномірного і прямолінійного руху точкового заряду електромагнітні потенціали можна означити виразами (21), знявши в них накладене квадратними дужками застереження. Вирази (23), (22) перетворюються до вигляду:

(24.І)

(25.ІІІ)

Ці вирази збігаються з тими, що одержуються шляхом перетворення рівняння (7) від системи до за допомогою координатних функцій відповідно (1) і (3).