Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражаєть­ся відношенням при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють (грош. од.). Функ­ція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·102 =35 (грош. од.). Отже, як­що середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додатко­вої одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продук­ції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.

Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.

Розв'язок: За формулою (4.21) еластичність собівартості

При х = 60 , тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.

Приклад: За допомогою досліду були встановлені функції попиту та пропозиції , де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна това­ру. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врі­вноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноваженої.

Розв'язок: а) Рівноважна ціна визначається з умови q = s, , звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (4.21):

Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3, Ep=2(s) = 0,8 .

Так як отримані значення еластичності за абсолютною величиною ме­нші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит змен­шиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%. в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 • 0,3 = 1,5%, тобто прибу­ток зросте на 3,5%.

План практичних занять

1. Правило Лопіталя.

2. Розкриття невизначеностей вигляду

3. Зростання та спадання функцій. Екстремуми функцій.

4. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

5. Опуклість та вгнутість кривої. Точка перегину.

6. Асимптоти графіка функцій.

7. Дослідження функцій та побудова їх графіків.

8. Використання поняття похідної в економіці.

Термінологічний словник ключових понять

Правило Лопіталя — Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.

Екстремуми функції — а) При значенні x1 аргументу x функція f(x) має максимум f(x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерів­ність f(x1)>f(x)(xx1). б) При значенні x2 аргументу x функція f (х) має мінімум f(x2), якщо в деякому околі точки x2; має місце нерівність f(x2)<f(x)(xx2). Максимум або мінімум функції називається екстре­мумом функції.

Опуклість та вгнутість кривої— Крива на проміжку називається опу­клою (вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Точка перегину — Tочка, яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої.

Асимптота — Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескін­ченність прямує до нуля.

Еластичність функції— Еластичність функції Еx(у) називається гра­ниця відношення відносного приросту функції y до відносного приросту змінної х при x à 0.

Економічний зміст частинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

Припустимо, що функції x1 = f(p1;p2) і x2 = f(p1;p2) виражають по­пит на товари А і В, які залежать від ціни на ці товари. Частинні еластич­ності попиту відносно цін p1 і р2 складають

Частинна еластичність E11 попиту на товар А відносно ціни товару А приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається незмінною.

Частинна еластичність Е12 попиту на товар А відносно ціни товару В приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін і т. п.

Приклад: Припустимо, що функція попиту на товар А є

Знайти частинні показники еластичностей.

Маємо

одержимо

Це означає, що якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залиша­ється без змін, тоді попит на товар, знижується на 0,3%. Далі, Е12 = = 0,05 тобто, якщо ціна товару В зростає на 1% при незмінній ці­ні товару А, попит на товар А зростає приблизно на 0,05%.

План практичних занять

1. Частинні похідні першого порядку. Повний диференціал.

2. Градієнт. Похідна за напрямом.

3. Похідна від неявної функції.

4. Частинні похідні і диференціал вищих порядків.

Лабораторні роботи

1. Наближене обчислення за допомогою повного приросту або повного диференціалу.

2. Застосування частинних похідних в економіці.

Термінологічний словник ключових понять

Диференційовна функція z = f(x, у) — це функція, повний приріст якої можна подати у вигляді = Ах + Ву + х + у, де А , В — чис­ла, , — нескінченно малі при, à 0.

Повний приріст — це різниця f(x0 + х, у0 + у) - f(x0, y0), де х, у — прирости, що надаються точці (х0, у0) так, щоб точка (х0 + х, у0 + у) не виходила за межі околу точки (х0, у0).

Повний диференціал — це головна лінійна частина приросту функції, тобто Aх + Bу.

Повний диференціал функції двох змінних z = f(x, у) обчислюється за формулою

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції z = f (x; y). У точці Po(x0;y0)за напрямом = (cos , cos ) і обчислюється за формулою

Градієнт — це вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(x,y) у точці Р0 (х0, у0):