то в силу нерівності (1.15) будемо мати

тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні) , залишається обмеженою. Значить, при має скінчену границю , тобто ряд збігається.

2). Нехай невласний інтеграл розбігається, тобто Це значить, що необмежено зростає при зростанні Але, в силу нерівності (13.14), також необмежено зростає при зростанні , тобто ряд розбігається.

Таким чином, теорема повністю доведена.

Зауваження . Доведена теорема залишається справедливою і в тому випадку, коли нерівності (13.12) виконуються, лише починаючи з деякого

Розглянемо ряд

Оскільки невласний інтеграл збігається при і розбігається при то і даний ряд буде збігатися при і розбігатися при

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к.

;

Для дослідження збіжності ряду використаємо інтегральну ознаку Коші:

; інтеграл збігається, отже, і

ряд - збігається. Тому за ознакою порівняння

ряд також збігається.