Нехай задано рівняння

(6.62)

і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) - 3). Можна

довести, що рівняння (6.62) визначає в деякому околі точки площини єдину і питому диференційовану функцію , яка набуває значення при , .

Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:

; . (6.63)

Розглянемо деякі застосування теорії неявних функцій. Нехай плоска крива задана рівнянням в точці записується у вигляді

. (6.64)

Рівняння нормалі до кривої в точці записується у вигляді

. (6.65)

Нехай поверхня задана рівнянням . Візьмемо в ній точку .

Рівняння дотичної площини до поверхні в точці записується у вигляді

(6.66)

Рівняння нормалі до тієї самої поверхні в точці має вигляд

. (6.67)

Приклади.

1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до еліпса в точці .

Р о з в ’ я з о к. Тут ; ; функції, неперервні скрізь.

Оскільки , крива має в цій точці дотичну і нормаль. Їх рівняння:

дотичної ;

нормалі .

2. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .

Р о з в ’ я з о к. Тут ; ;

, - функції, неперервні скрізь, , отож, в точці можна провести дотичну площину і нормаль до поверхні.

Рівняння:

дотичної площини ;

нормалі .