2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d((х) dx) - ((х) dx)' dx = f(х) dx.

4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx=C(x)dx.

5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінчен­ного числа доданків.

6°. Якщо

і u = (х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то

(u)du=F(u)+C. (2)

О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо

dF (u)=F'(u) du=f(u) du;

Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегру­вання) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від то­го, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, «беруться»), необмежено збільшується. Наприклад, оскільки .

Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу де — довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:

тобто

тобто

тобто

Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай

Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що х ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що

(F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція пер­вісної не має.

Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.

В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.